设 $a_n\neq 0\ (n=1,2,\cdots)$ 且 $\dps{\vlm{n}a_n=a\ (a\neq 0)}$. 求证: 下列两级数 $$\bex \vsm{n}|a_{n+1}-a_n|,\quad \vsm{n}\sev{\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}} \eex$$ 同时收敛或同时发散. (上海交通大学)

 

证明: 由题意, $$\bex \exists\ N,\st n\geq N\ra |a_n-a|<\frac{|a|}{2} \ra \frac{|a|}{2}<|a|-|a_n-a|\leq |a_n| \leq |a_n-a|+|a|<\frac{3|a|}{2}. \eex$$ 而 $$\bex n\geq N\ra \frac{4|a_{n+1}-a_n|}{9|a|^2} \leq \sev{\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}} =\frac{|a_{n+1}-a_n|}{|a_na_{n+1}|}\leq \frac{4|a_{n+1}-a_n|}{|a|^2}. \eex$$ 故有结论.